OMC287 Writer 記

こんにちは，poinsettia です！！先日行われていた OMC287 で MARTH 君と共同 Writer をしていました．Writer 記を書いたので，ぜひ読んでみてください．

200-300-300-400-500-500 という無印として比較的王道（？）の配点ですが，難易度は無印の中でもかなり高かったと思います．提出時の配点は 100-300-300-400-600-500 で，審査で 200-300-300-500-600-500 になり，出題時に現行の配点になりました．元々 D,E,F は F→D→E の順で出していました．

以下問題ごとのコメントです．A,D,F のコメントを書いてくれた MARTH 君に感謝します．

A（200G・MARTH）：大学一年生の時(2021年)に作りました。当時水solverでした。切頭三角柱の体積の公式を使いたくて出しました。目線のアイデアは慶應医学部2021年のⅢを参考にしました。

B（300A・poinsettia）：今年作りました．解と係数の関係の問題は好きですが，2 変数出てくるものは割と珍しいので作ってみたいと思いました．意外と見たことのないタイプの問題だったので，作れたときはかなり嬉しかったです．

C（300N・poinsettia）：今年作りました．私の Twitter ID に含まれる数である「1468」が出てくる整数問題が作りたかったので考えました．不等式評価が割と難しく，エスパーも困難と思っていたので B より後ろに置いて提出しました．ファミレスで設定を思いついて，ご飯を食べながら考えていた覚えがあります．

D（400A・MARTH）：大学3年生の時(2023年)に作りました。当時青solverでした。生やして解いたタイプの問題でした。分岐する漸化式の問題を作りたいって言うモチベーションでした。400で出して500で返ってきましたが、tester時に400に戻りました。

E（500G・poinsettia）：今年作りました．AF=AO なる構図についての性質を探していて，そこで面白いと思ったものを詰め込んで作りました．特に嬉しかったのは，X,M,P の共線（そこから直角が得られるのがかなり衝撃でした）と，中線定理から cos が求められたところです．

F（500C・MARTH）：今年作りました。OMC123-Eのユーザー解説を書こうとしてやめて一度一般化した問題を投げて400Cで通りました。その後積の和を絡めてみようと思って500Cとして提出しました。

コンテスト当日について（poinsettia）：
通話しながら順位表を見守っていました．
開始前に一緒に Diff や FA タイムの予想をしていました．A茶, B水~青, C水, D青, E黄~赤, F黄 くらいかなと話していました．特に B と C，E と F は逆転の可能性がかなり高いと思っていました．FA タイムは A 2 分, B 3 分, C 5 分, D 10 分, E 30 分, F 10 分くらいだと予想していて，B 問題はかなり一発なので解ける人は比較的すぐ解ける，C,D 問題は比較的時間がかかりやすいと思っていました．
A,B 問題は予想より速く，なんと Install2303 さんが両方 FA でした．
はじめのうちは B のほうが C より正解者数が多いと思いきや，かなり早い段階で B,C が逆転して，思った以上に差がついていました．C の正解者数は思った以上に伸びていて，かなり早い段階で 100 人を超えました．これは緑 Diff になりそうと思ってかなり意外でした．B,D は青かな？という人数でした．終盤になると C が 200 人を突破し，「これがここまで解かれるの！？」と本当に驚きました．B,D も同じくらいの人数になっていて，最終的にはなんと逆転しました．
一方で逆転をほぼ確信していた E,F は逆転しませんでした．Weskdohn さんが E 問題の FA を取ってくれたことはめちゃくちゃ嬉しかったですし，終了ギリギリで E 問題の CA が数名増えたのはかなり胸熱でした．
コンテストが終了し，問題ごとの正解者数は A 281, B 84, C 250, D 109, E 14, F 12 です．E,F は逆転せず，B が C,D と逆転するという予想外の結果でした．特に C が 250 人，B が 84 人でほぼ 3 倍なのは驚きです．コンテスト前は A と B の間に崖ができると思っていましたが，C 問題という巨大な谷を作ってしまいました．実際のところ，200-400-200-400-600-600 くらいの難易度感だったのかもしれません．
しばらく Twitter で感想を見ていました．たくさん聞けて嬉しかったです．今回は正解者数的に後ろ 2 問両方橙 Diff もあり得そうで，Diff がかなり気になっていたので，しばらく Problems を無限リロードしていました．結果は灰 - 青 - 茶 - 水 - 黄 - 橙 でした．茶色！？というのが一番驚きでした．E が黄色前半なのもかなり意外でしたし，全体的に予想外なところが多かったです．F が橙なのはかなり熱かったです．これだからコンテスト観戦は本当に面白いですね．

振り返り（MARTH）：それぞれ色が違う時に作った問題で個人的に今までの作問の集大成のようなつもりで感傷に浸ってました。

振り返り（poinsettia）：割と気に入ってる 3 問を出せて嬉しかったです．D,F もめちゃくちゃ面白かったです．　共同 Writer の MARTH 君をはじめとして，コンテストに関わってくださった皆様は本当にありがとうございました！

OMCB053 と OMC260 の参加記

こんばんは、pomodor_ap です！

タイトルの通り、OMCB053, OMC260 の 2 つのコンテストの参加記を書いていきたいと思います．

この記事では，問題のネタバレを大量に含みます．

OMCB053

MI6174 さん単独 Writer のコンテストですね．OMCB051 がとても楽しかったので、MI6174 さんの問題が解けるのを楽しみにしていました．

E,F のどちらかが幾何であればそこから解きたいと思っていたので、開始と同時に E,F 問題を見ました．E 問題が幾何だったので、そこから解き始めます．

A,B,D,E が共円であることにはすぐ気づきましたが、そこから比を活かすまでけっこう時間がかかってしまいました．計算ミスもしてしまい、CA に至るまで 14 分かかりました．めちゃくちゃ好きな問題でした．

とりあえず A を解きます．「57 は素数」を使った問題を作りたい！とは私も考えたことがあったのですが、とても良い 100 点問題ですごいなあ、面白いなあと思いました．

B を解きます．AD が直径であることがすぐに見えてよかったです．100 点にしては難しいなあと感じました．

C を解こうとしましたが、方針が立たず沼ってしまいそうだと思ったので、いったん D を考えることにしました．F も面白そうなのでちょっと覗いてみました．

とりあえず xyz が 2 式両方で出てきているので、消したいと思って差を取ってみたらいい感じになりました．成り立って欲しいものがそのまま成り立ち、使いたいものがそのまま使えたので楽しかったです．

C をやります．場合わけをして数え上げましたが、適さないケースを含めたり、単純に計算ミスをしたりしてまさかの 3 ペナしてしまいました．

後の時間は F をやっていました．主客転倒して数え上げてみたら結構いい感じの式になり、そのまま mod 計算すればいいところまでいったところでコンテストが終了しました．

A～E の 5 完で 18 位でした．とても楽しかったですね．OMC らしい（？）セットでめちゃくちゃ好きです．

OMC260

浜松で仲良くなった epsug の単独 Writer なので，楽しみにしていました．

D 問題に幾何があったので，とりあえず D 問題から解いてみることにしました．

二等分線から式が立てられそうだと思ったので文字で置いてみます．しかし，文字の置き方をミスって計算がかなり重たくなってしまいます．いったん他の問題を解いてみることにしました．

A 問題を解きます．円周角の定理を考えれば，連立方程式を解くといいですね．高校入試にありそうな問題です．

B 問題を解きます．CRT から mod2，3，5，7 を見ればよいですね．左の列から順番に決定していけば漸化式が立てられます．

しかし，はじめ私は 2×1000 のマス目だと誤読していた（？？？？）せいで答えがめちゃくちゃ大きくなってしまいます．あれ，200 点にしては難しいな… と思っていると見事に WA が返ってきます．落ち着いて問題文を読み直せば誤読に気づいて解けました．

D 問題に戻ります．文字を置き直してみるといい感じに長さ計算できました．方程式を解いてみると，AD=DE になることに気づきます．「コンテストが終わったら計算せずに示してみたい」と思いながら，解答を提出しました．無事 CA が得られて安心です．

（実際，終わってから示してみましたがとても面白かったです！こういう証明問題っぽい求値幾何は面白いですね〜）

C 問題を解きます． \alpha^{1000} を変形したくなる見た目です．

\alpha^{1000}=\alpha\cdot\alpha^{999}=\alpha\cdot\dfrac{3}{5\alpha + 15}=\dfrac{3\alpha}{5\alpha+15} がわかるので，元の式に x-3 を代入すれば良いですね．

きれいに計算できて解けました．値もきれいになるので解き心地がいいですね．

その後，F 問題をずっとやっていました． x-\dfrac{1}{x} との相性が良さそうだな〜って思って議論を進めたら OMCB045(E) で出てきたような漸化式が出てきました．それを解き終わってから嘘議論に気づきます．

落ち着いて考えてみるとどうみても tan じゃん．そのまま計算すると sin の積を使って答えが表せました．あとは sin の積を計算すればいいのですが，このパートで詰まって解ききれませんでした．

A～D の 4 完で 28 位でした．E 問題はほとんど見れていなく，まだ解き直しもできていないのですが，解き心地が良い問題が多くて楽しかったです．

まとめ

2 回ともに，F 問題で「本質パートはクリアしたが，その後の部分で詰まって CA が得られない」という状態になりました．解き切る力が足りていないことをけっこう実感することが多いです（これは OMC に限らず受験数学などで感じることもあります）．どちらも面白い問題だったからこそ，とても悔しいですね．

さて，今回久しぶりに OMC の参加記をブログに書きました．これからまた書いていきたいと思っています．よろしくお願いします！（最近 Writer になった回の Writer 記も，近いうちに書きたいですね）

今回の記事はこれで終わりです．読んでいただきありがとうございました！

高校生数学コンテスト in Hamamatsu 2025 本選参加記

こんばんは．pomodor_ap です．

今年も高校生数学コンテスト in Hamamatsu の本選に参加できたので，今年こそは参加記を書いてみることにします．

6 月から体調の悪い時期が続いて，久しぶりの遠出なので，朝は予期不安でちょっとしんどかったのですが，みんなに会ったらかなり不安が安らぎました．

nmoon と一緒に新幹線に乗って浜松に向かいました．新幹線の中でいろいろ話せて楽しかったです．着いた後駅で 6 人くらいで合流して，さらにモスバーガーで 11 人くらいで合流しました．

モスバーガーではオレンジジュースを飲みながら喋ったりしていました．その後，みんなで会場に向かいました．

試験（ネタバレ注意）

以下試験について書きます．ネタバレ注意です．

 

（スペースを空けるために，以下に落書きをします）

０　１　２　３　４　５

１　２　３　４　５　６

２　３　４　５　６　７

３　４　５　６　７　８

４　５　６　７　８　９

５　６　７　８　９　10

 

分野はぱっと見 C,N,G,A,C,C っぽく，苦手セットっぽいな… と思いながら解き始めます．

とりあえず 3 をやってみるけど結構難しい．とりあえず中点がいい感じに役立ってくれて，比の追跡から相似がいくつか作れます．さらに比の追跡をして示せたと思ったら途中で相似の向きを勘違いしていて議論が回っていなかった… (15 分くらい)

一旦パスして 1 をやりました．50^2 の構成ができないなあと思ったら 33^2 の構成ができた．評価も無事思いつき，解けました．記述はいったん後でやることにしました．(30 分くらい)

3 に戻るけどなんか沼ってしまいました．なぜか完結しない．しばらく 2 と 3 を交互にやっていましたが，沼が続きます．(45 分くらい)

いったん 4 に手をつけてみました．幾何でできそうかな？と思ったが無理そう．+1 が気持ち悪いので 4 つ目の式を 1,2,3 つ目の式に代入したらいい感じになりました．気持ちよかったです．答案作成もスムーズに終わりました．(70 分くらい)

いったん 1,3 の答案作成に戻ります．並行して 2 の考察もしていました．1 の答案が完成して，3 がだいたい解けた時点で 110 分くらいでした．

ここで 2 に戻ります．最大値を取ってバグらせたいというノリで大きめの 2 べきを取ったらいい感じになりました．答案作成もスムーズに済み，書き終わった時点で 135 分くらいでした．

あとは 3 の答案を書きつつ，1,2,4 の見直しをしていました．それらが完了した時点で 165 分くらいでした．

残りの時間で，6 で複素数を使えそうだということを思いつけたので書いておきました．それ以外には特に進捗は生まれず，試験終了です．

1，2，3，4 の 4 完です．最大で 777701 くらいなので，減点されていないといいな〜って思っていました．解いた問題がどれもめちゃくちゃ面白くて（解けなかった問題も解説を聞いてめちゃくちゃ面白かったです），本当に楽しいコンテストでした．

1 日目: 試験後

終了後はホテルに向かいました．部屋で荷物を整理した後，私は locker 君の部屋に行って遊んでいました．SET をしたのですが，久しぶりでしたがいくつか取れてよかったです．とても楽しかったです．

その後，10 人でカラオケに行きました．poino 君，eq_math 君，Nyarutann 君と同じグループになりました．みんなめちゃくちゃ歌が上手かったです．poino 君と一緒に問題を解いたりもできました．

その後，さわやかに locker 君，eq_math 君，Nyarutann 君，Ando 君と行きました．Set をしたりいろいろ話したりできてめっちゃ楽しかったですし，げんこつハンバーグがめっちゃ美味しかったです．問題の解法についても語り合うことができ，めっちゃ勉強になったし楽しかったです．

げんこつハンバーグ

ホテルに戻った後，しばらく一人で部屋で過ごしていたのですが，poino 君，jerry 君，epsug 君，nmoon 君，locker 君，sato2718 君，asmin 君，Ando 君が部屋に来てくれて，そのメンバーで Math Spiral を開催しました．poino 君と sato2718 君がめちゃくちゃ強かったです．自作問題を目の前でみんなが解いてくれるのがとにかく楽しかったしわくわくしました．参加してくれたみんなありがとう．

その後，5 秒問題を作るタイムショックをしました．これもめちゃくちゃ楽しかったし何問か作れて良かったです．

poino 君，nmoon 君と朝まで部屋で一緒に過ごしてました．一緒にゲームしたりもして本当にめちゃくちゃ楽しかったです．

本当に楽しすぎて，これがずっと続けばいいのにと思っていました．

2 日目

3 時間くらいだけ寝て，起きました．結果が気になりすぎて朝はけっこう緊張していた気がします．入賞できていたらいいなーと思って，無限に「ここで減点されていないかな」などと考えたりしていました．

会場について，さっそく表彰式です．名前は呼ばれませんでした．

その後解説がありました．自分の解法と違ったところもけっこう多くて，とても面白かったです．

最後に記念撮影などがあり，大会が終わりました．会場を出る前にもまた交流できて嬉しかったです．話してくれた皆さんありがとうございました．

jerry 君，epsug 君を誘って，一緒にうなぎを食べに行きました．めっちゃ美味しかったですし，いろいろ話すことができて楽しかったです．

その後 3 人で，浜松駅前のカラオケに入りました．全ての曲で 93 点または 94 点を出せたのがうれしかったです．ちょくちょく雑談もできて楽しかったです．

その後，お土産を買って帰りました．nmoon 君，poino 君と一緒に新幹線に乗って，新幹線の中では Geogebra で幾何を考えたり，Set をしたりしていました．Set の話をできたのが楽しかったですね．

新大阪についてから epsug 君とまた合流して，4 人でラーメンを食べました．美味しかったです．OMC とか速解きの話もすることができて，めちゃくちゃ楽しかったです．

立ち話をしたのち，解散して家に帰りました．

あまりにもこの 2 日間が楽しすぎたので，帰ってからもあんまり虚無にならなかったです．お会いした参加者の皆さん，OMC・大会運営の皆さん，本当にありがとうございました．

またオンサイトのコンテストに参加できるときが楽しみで仕方がないです．近畿大学数学コンテストには参加するつもりなので，そこでお会いする方はよろしくお願いします！また，PDC Tour 2025 というコンテストを 9/15 に大阪会場 / オンライン併用で開催するので，参加してくださると私がとても喜びます（詳細は Twitter）．

ということで今回の記事はこれで終わりです．読んでくださりありがとうございました．

内心構図で出てくる Miquel 点 / sharky devil について

こんにちは！pomodor_ap です．

友達と話していたら sharky devil の話題になったので，せっかくだし性質をいろいろ書いてみようと思います．内心構図において現れる Miquel 点で，面白い性質がたくさんあります．

成り立つ性質を問題として書いたのち，それに関する解説をしていく形式で書いています．解説は思考過程などを載せることを優先したつもりです（逆に角度計算などを省いている箇所があります．ごめんなさい．）

現在のところかなり内容が少ないですが、ちょっとずつ追加していくつもりです．

定義

三角形 $ABC$ について，内心を $I$ とする．線分 $AI$ を直径とする円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $K$ とするとき，$K$ は三角形 $ABC$ の $\angle A$ に関する sharky devil 点である．

言い換えれば内接円と線分 $AB, AC$ の接点を $F, E$ としたとき、四角形 $FBCE$ の Miquel 点です．OMCE013(C) などで出てくる Miquel 点の内心バージョン、といった感じでしょうか．

問題 1 :

三角形 $ABC$ の内接円と線分 $BC$ が接する点を $D$ とする．$KD$ は $\angle BKC$ を $2$ 等分する．

証明 :

JMO 本選 2 番とかでありそうな議論ですね（2 番にしては難しいかもしれない）．かなり前に、自力で見つけて証明できたときはとても気持ちよかったので、ぜひやってみて欲しいです．


$K$ が Miquel 点であることを使いたいですね．どうしても angle-chase とかにこだわりがちではありますが比の追跡も大事です．


三角形 $ABC$ の内接円と $CA, AB$ の接点を $E, F$ としましょう．$A, K, F, I, E$ は ($AI$ を直径とする円として) 共円です．


Miquel 点の性質として（まあ角度計算からすぐ従いますが）三角形 $KFB$ と三角形 $KEC$ は相似です．$BF=BD, CE=CD$ から，$BK:CK=BE:CF=BD:CD$ となり角の二等分線の定理の逆から題意が示されます．

問題 2

$\angle A,B,C$ に関する sharky devil をそれぞれ $K,L,M$ とする．三角形 $ABC$ の内接円と線分 $BC, CA, AB$ の交点をそれぞれ $D, E, F$ とする．また，三角形 $ABC$ の内心，外心を $I, O$ とするとき，直線 $KD, LE, MF, IO$ は共点である．

証明 :

自作問題ですが、船旅にもほとんど同じ問題が載っている（ことに後ほど気づいた）ので、見たことがある人も多いかもしれないです．証明難易度は本選 3 番くらいだと思います．


線分 $KD, LE, MF$ がちょっと気持ち悪いので，$KD$ と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $N_A$ とし，同じように $N_B, N_C$ を定義しましょう．これらは問題 1 より，三角形 $ABC$ の外接円の，それぞれ劣弧 $BC, CA, AB$ の中点ですね．


ここで，角度計算を進めることで三角形 $N_AN_BN_C$ と三角形 $DEF$ は相似であり，かつ対応する辺が平行なので相似拡大の関係にあります．

相似の中心 $X$ が存在し，直線 $N_AD, N_BE, N_CF$ はこの点を通りますね．$O$ と $I$ はそれぞれ三角形 $N_AN_BN_C$ と三角形 $DEF$ の外心なので，

この相似において $O$ と $I$ も対応しています．つまり，$X, I, O$ も共線なので題意が示されましたね．

ねむい

お久しぶりです．もう夜 3 時なんですね，とてもねむいです．

二ヶ月くらい体調とか精神の調子が悪い時期が続いて，最近まで外出も怖かったのですが，ようやく近くでの長時間の外出ならできるようになってきました．思い返せば半年くらいあまり何もできていないので，そろそろ頑張っていきたいです．

そんなわけでこのブログもまた書いていきたいと思います．雑談とか，幾何とか FE の問題に関する記事とか，OMC とかの参加記ももしかすると書くかもしれません．

ということでご挨拶（？）に自作問題を置いておきます．とある別の自作問題に似ていたので，放流することにしました．もし既出だったらごめんなさい．OMC だと 300 点だと思います．

n を正の整数とする．x についての二次方程式 x^2-ax+n=0 が正の整数解を持つような正の整数 a の総和を f(n) とする．このとき，f(1), f(2), …, f(10000) の中に奇数はいくつあるか？

そんなわけで，またよろしくお願いします．

f:R→R の関数方程式

こんにちは．久しぶりに記事が書きたくなったので，関数方程式の問題を紹介しようと思います．

IMO2024 の 1 日目の直後に，偽物の problem1 として出回った問題ですが，関数方程式初心者にかなり教育的だと思っています．

以下フォントが変わっていますが気にしないでください．

 

問題 1 : 関数 f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} に対して

f(xy) + f(xf(y)) = f(yf(x)) + yf(x)

がすべての実数 x, y に対して成り立つとする．

 

xy が扱いづらそうです．y=1 とすれば x になるので入れてみましょう．

P(x, 1) : f(xf(1))=f(f(x))

うーんあまり使えなそうです．別の方法を試してみましょう．

 

xf(y) と yf(x) も見た目が扱いづらそうですが，x, y についてこれらは対称な形をしていることがわかります．ということで P(y, x)（x と y の入れ替え）をしてみましょう．

P(y, x) : f(xy) + f(yf(x)) = f(xf(y)) + xf(y)

これと元の式を足すことで、

2f(xy) = xf(y) + yf(x)

が出てきます．

今度こそ y=1 とすると

(2-f(1))f(x)=xf(1)

が成り立ちます．f(1)=2 だったら左辺は常に 0 になりますが、右辺は常に 0 にはならないので矛盾します．よって 2-f(1) で両辺を割ることで、実数 c を用いて f(x)=cx と表せることがわかりますね．元の式に入れてみれば、

cxy + c^2xy = c^2xy + cxy

と出てくるので、任意の c についてこれは成り立つことがわかります．よって、十分性の確認もできました．

 

解説は以上になります．

さて，明日の 19:00～19:30 は自作コンテストの PDC002 があります．Twitter (@1468_math) 上で開催します．個人参加もチーム参加（最大 4 人）も可能なので，みなさんぜひ遊びに来てください！！

読んでくださりありがとうございました．

OMC243 の参加記

この日は京大の二次試験を受けて，その後友達とラーメン食べたりカラオケに入ったりしてました．受かってるといいなあ〜．

帰りの電車の中で OMC243 をちょっとやりました．

A を駅のホームで暗算で解いて，B を考えながら乗り込み，席で暗算で解きました．方べきを移すのは求値でも証明でもよく使う良い典型ですね．点の位置関係を勘違いしてちょっと時間かかってしまった．


指定席を取っていたので，座席のテーブルにコピー用紙を出して，ここからは紙に書いて考察をしました．


E はあまり解いたことがないタイプの算数って感じで面白かったです．400 点にしては結構難しく感じました．BC:AD が定まれば一意に定まるのすごいな〜．


C をやりました．3456 = 2^7 × 3^3 なの初めて知った．字が汚すぎて，自分で書いた字を誤読してミスしたりして結構時間がかかってしまいました．


D，OMC だとあまり見ないタイプの問題ですね．OMC で構成ゲーが出てるの面白い．こういう問題は結構好きです．

構成ができたくらいで乗り換え駅に到着したので，歩きながら D の数え上げを考えました．その次の乗り換え駅に着く直前に D が解けて，5 完することができました．F を暗算で解ける気はしなかったのと，疲れていたのでこれで撤退しました．．


家に帰ったらコンテストが終了していました．帰宅しながらの参加で 10 位を取れたのは結構嬉しかったです．

いったん受験が終わったのでこれからまた競技数学を頑張っていきたいですね〜．以前ちょっとだけ触った競プロもそろそろ再開したい．